Né le 5 mai 2003 à El Palmar, une petite ville de la région de Murcie en Espagne, Alcaraz a commencé à jouer au tennis dès son plus jeune âge au moment où son père, Carlos Alcaraz Sr., était directeur de la Real Sociedad Club de Campo de Murcia. Il a trois frères, prénommés Alvaro, Jaime et Sergio. Sa mère, Virginia Garfia, a elle aussi encouragé le petit Carlos à faire du sport et à s'amuser avec les copains sur les courts de tennis. Dès son plus jeune âge, il a été plongé dans un environnement où le sport et la compétition étaient au cœur des activités familiales.
Il va ensuite montrer très tôt un talent exceptionnel pour le tennis, accompagné d'une détermination rare. Il passait des heures sur le court, affinant ses coups et développant un amour profond pour le jeu. Son père, ayant reconnu son potentiel, a pris soin de lui offrir les meilleures conditions d’entraînement possibles.